Dacă informația de pe Wikipedia e corectă,
enunțul "Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă aparține nu lui Euclid, ci lui John Playfair, care a construit o axiomă echivalentă cu cea a lui Euclid.

O posibilă demonstrație a acestei axiome echivalente...
Propoziția lui Playfair trebuie demonstrată în două direcții:
I. printr-un punct exterior unei drepte trece cel mult o paralelă cu dreapta dată
II. printr-un punct exterior unei drepte trece cel puțin o paralelă cu dreapta dată

Ne limităm a demonstra propoziția I, deoarece propoziția II este demonstrată în cartea "Matematică. Geometrie și trigonometrie. Manual pentru clasa a IX-a", Augustin Coța, Mariana Răduțu, Marta Rado, Florica Vornicescu, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1997, p. 33.

I.1.Demonstrație: Presupunem prin reducere la absurd că printr-un punct exterior unei drepte trec mai multe paralele cu dreapta dată.
Fie d dreapta dată, M - punctul exterior dreptei și d1, d2, d3... dn, unde n>1, mai multe drepte care trec prin M și sunt paralele cu d.
d//d1
d//d2
...
d//dn
------
de aici => d1//d2//d3...//dn(1)

M є d1
M є d2
...
M є dn
-----
de aici => d1∩d2∩d3...∩dn = {M}(2)

Din (1) și (2) => contradicție, presupunererea de la început e falsă =>propoziția e demonstrată.

Demonstrația translației paralelismului
1. Fie d1, d2, d3 având relația
d1//d2|
d2//d3|=> d1//d3
în desen, d2 se află la mijloc, d1, d3 încadrează pe d2 în stânga și în dreapta acesteia

Presupunem că d1 È™i d3 nu ar fi paralele, adică d1∩d3={M}
Fie d o dreaptă care intersectează d1, d2, d3.
d∩d1={N}
d∩d3={P}
MNP - triunghi
M nu aparține lui d2 trebuie să fie adevărată, (altfel d1 nu mai e paralelă cu d2 și d3 nu mai e paralelă cu d2), rezultă că d2 intersectează două laturi ale triunghiului MNP (o latură pe dreapta d și o latură pe dreapta d1 sau d3), adică e contradicție,deoarece d1//d2 și d2//d3.
De unde rezultă că presupunerea inițială e falsă, adică d1//d3 e adevărată.


2. Fie d1, d2, d3 drepte date. d2//d1 și d2//d3. Vrem să demonstrăm că d1//d3.
De data aceasta d1, d3 sunt de aceeași parte, fie în dreapta, fie în stânga lui d2.
Deoarece d1//d2 și d2//d3 înseamnă că perpendiculara care trece prin M de la d2 la d1 e aceeași cu perpendiculara care trece prin M de la d2 la d3.

Vom presupune că prin M trec două perpendiculare de la d2 la d1 și de la d2 la d3.
M1єd2 astfel încât MM1 perpendiculară pe d3
M2єd2 astfel încât M2M perpendiculară pe d1
MM1 perpendiculară pe d3, rezultă că unghiul M1MO3 (O3 є d3)=90 grade (1)
MM2 perpendiculară pe d1, rezultă că unghiul M2MO1(O1 є d1)=90 grade (2)
Din (1) și (2) rezultă că unghiul M2MO1=unghiul M1MO3(3)
Dar unghiul M2M01=unghiul M2MM1+unghiul O3MO1 (4)
Din (3)și (4) rezultă contradicție, deoarece unghiul M2MM1 diferit de zero,la fel și unghiul O3MO1. De aici rezultă că M1=M2.

Refăcând desenul, acum rămâne numai M1 pe d2.
unghiul M1MO1=90 grade
unghiul M1MO3=90 grade
Dar unghiul M1MO1= unghiul M1MO3 + unghiul O3MO1 (O3MO1 e diferit de zero), rezultă contradicÈ›ie, rezultă că d1∩d3=mulÈ›imea vidă, rezultă că d3//d1.